Cho nửa đường tròn đường kính AB . Biết rằng AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E . Tính vecto AE ⋅ vecto AC + vecto BE ⋅ vecto BD biết AB = 2 .

Ta có: \(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AE}  \cdot (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + \overrightarrow {BE}  \cdot (\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} )\)

\( = \overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {AD} {\rm{. }}\)

Vì \(AB\) là đường kính nửa đường tròn nên

ADB^=90°,ACB^=90°⇒AE→⋅BC→=0,BE→⋅AD→=0. 

Khi đó: \(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {EB}  \cdot \overrightarrow {AB} \)

\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EB} ) = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AB}  = {\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = 4\)