Cho n là số tự nhiên. Chứng minh: 5^(2n+1) + 2^(n+4) +2^(n+1) chia hết cho 23.

Lời giải

Ta có:

5²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺⁴ +2ⁿ⁺¹

= 5.5²ⁿ + 2⁴.2ⁿ + 2.2ⁿ

= 5.25ⁿ + 18.2ⁿ

= 5.25ⁿ + 23.2ⁿ – 5.2ⁿ

= 23.2ⁿ + 5(25ⁿ – 2ⁿ)

Ta có 25ⁿ – 2ⁿ ⋮ (25 – 2)

⇒ 25ⁿ – 2ⁿ ⋮ 23

⇒ 5(25ⁿ – 2ⁿ) ⋮ 23

Vì 23 ⋮ 23 ⇒ 23. 2ⁿ ⋮ 23

Vậy 23. 2ⁿ + 5(25ⁿ – 2ⁿ) ⋮ 23 ⇒5²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺⁴ +2^n:1 ⋮ 23.