Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A 2 n − 3 C 1 n = 5 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển ( 2 − 3 x 2 ) n .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}*\).

Ta có \(A_n^2 - 3C_n^1 = 5\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3n = 5\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3n = 5\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 4n - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 1\end{array} \right.\).

Với \(n = 5\) ta có khai triển \({\left( {2 - 3{x^2}} \right)^5}\).

Ta có \({\left( {2 - 3{x^2}} \right)^5} = {2^5} + {5.2^4}.\left( { - 3{x^2}} \right) + {10.2^3}.{\left( { - 3{x^2}} \right)^2} + {10.2^2}.{\left( { - 3{x^2}} \right)^3} + 5.2.{\left( { - 3{x^2}} \right)^4} + {\left( { - 3{x^2}} \right)^5}\)

\( = 32 - 240{x^2} + 720{x^4} - 1080{x^6} + 810{x^8} - 243{x^{10}}\).

Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển trên là \( - 1080\).