Cho một vật chuyển động với vận tốc

a) Gọi \(s(t)\) là quãng đường đi được của chuyển động.

Ta có vận tốc là đạo của quãng đường: \(s({\rm{t}}) = {\rm{v}}({\rm{t}})\). Do đó hàm số \(s({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\). Khi đó ta có \(\int_a^b v (t)dt = \left. {s(t)} \right|_a^b = s(b) - s(a)\).

Vậy \(\int_a^b v (t)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến \(b\).

b) Quãng đường vật đó di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \({\rm{t}} = 0\) (giây) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (giây) là: \(s = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {(2 - \sin t)} dt = \left. {(2t + \cos t)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}} = \left( {2 \cdot \frac{{3\pi }}{4} + \cos \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos 0 = \frac{{3\pi }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 \approx 3(\;{\rm{m}}).\)