Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình vuông cạnh 20 cm và chiều cao 80 cm
21/22
Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình vuông cạnh \(20{\rm{cm}}\) và chiều cao \(80{\rm{cm}}\). Mặt \(A'B'C'D'\) là mặt dưới, còn \(ABCD\) là mặt trên.
Một con kiến xuất phát từ điểm \(A'\) và bò trên bề mặt xung quanh của tòa nhà để đến đích là điểm \(A\) (như hình minh họa). Đường đi của con kiến là một đường gấp khúc liên tục, nằm hoàn toàn trên bốn mặt bên (không đi trên mặt trên và mặt dưới), không trùng với các cạnh của hình hộp và lần lượt cắt các cạnh theo đúng thứ tự: \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Biết rằng con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\). Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con kiến đi (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo là cm).
Lời giải
Đáp án: \(157\)
Gọi các điểm chạm của con kiến trên các cạnh \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) lần lượt là \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), \(I\). Áp dụng phương pháp trải hình như hình bên dưới.
Vì con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}B'E \ge 16\\CF \le 16\end{array} \right.\).
Khi đó, đặt \(CF = x\) thì \(x \le 16\) và \(B'E = \frac{{80 - x}}{2} \ge 32\) (thỏa mãn).
Độ dài đường đi của con kiến: \(f\left( x \right) = A'F + FA = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - x} \right)}^2}} + \sqrt {{{80}^2} + {x^2}} \), \(x \le 16\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \frac{{x - 80}}{{\sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - x} \right)}^2}} }} + \frac{x}{{\sqrt {{{80}^2} + {x^2}} }} = \frac{{\left( {x - 80} \right)\sqrt {{x^2} + 6400} + x\sqrt {{x^2} - 160x + 8000} }}{{\sqrt {\left( {{x^2} - 160x + 8000} \right)\left( {{x^2} + 6400} \right)} }}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} - 160x + 8000} = \left( {80 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 6400} \)
\( \Rightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 160x + 8000} \right) = {\left( {80 - x} \right)^2}\left( {{x^2} + 6400} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4800{x^2} - 1024000x + 40960000 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 160 > 16\\x = \frac{{160}}{3} > 16\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy độ dài đường đi ngắn nhất của con kiến là
\({f_{\min }} = f\left( {16} \right) = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - 16} \right)}^2}} + \sqrt {{{80}^2} + {{16}^2}} \approx 157{\rm{cm}}\).