Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 100 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\) cm (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồ
19/21
Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 100 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\) cm (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).
Điều kiện \(0 < x < 50\).
Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều \(AB = HK = 100 - 2x\).
Chiều cao của lăng trụ lục giác đều \(HA = MH.\tan 60^\circ = x\sqrt 3 \).
Diện tích đáy của hình lăng trụ lục giác đều \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).
Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: \(V\left( x \right) = HA.{S_{ABCDEF}} = \frac{9}{2}x{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).
Ta có \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\).
Xét hàm số \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\) trên khoảng \(\left( {0;50} \right)\).
Ta có \(V'\left( x \right) = 54{x^2} - 3600x + 45000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{50}}{3}\\x = 50\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \left( {0;50} \right)\) nên \(x = \frac{{50}}{3}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{50}}{3}\)cm.