Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số là 2. Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được một phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó

Gọi \[x\] là tử số của phân số cần tìm \[\left( {x \in \mathbb{Z}\,;\,\,x \ne 0} \right).\]

Mẫu số của phân số là: \[x + 2.\]

Ta có phân số cần tìm có dạng \(\frac{x}{{x + 2}}.\) Khi đó ta có điều kiện \[x \ne - 2.\]

Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì phân số có dạng \(\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x - 3}}{{x - 4}}.\)

Khi đó, ta có điều kiện \[x \ne 4.\]

Theo bài, phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho nên ta có phương trình: \(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}\)

\(\frac{{\left( {x - 3} \right)x}}{{\left( {x - 4} \right)x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{x\left( {x - 4} \right)}}\)

\[\left( {x--3} \right)x = \left( {x + 2} \right)\left( {x--4} \right)\]

\[{x^2} - 3x = {x^2} - 4x + 2x - 8\]

\[{x^2}--{x^2}--3x + 4x--2x = - 8\]

\[x = 8\] (TMĐK)

Như vậy, phân số cần tìm có tử số là 8 và mẫu số là \[8 + 2 = 10.\]

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{{10}}.\)