Cho một miếng tôn có diện tích 10 000 pi cm^2. Người ta dùng miếng tôn hình tròn để

Diện tích miếng tôn: \(S = 10\,\,000\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) = \pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích toàn phần của khối nón: \(\pi rl + \pi {r^2} = 1\pi \left( {{m^2}} \right) \Rightarrow lr = 1 - {r^2}\).

Chiều cao khối nón: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \,\,(m).\)

Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot h = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \frac{1}{3}\pi r \cdot \sqrt {{{\left( {rl} \right)}^2} - {r^4}} \)

\( = \frac{1}{3}\pi r \cdot \sqrt {{{\left( {1 - {r^2}} \right)}^2} - {r^4}}  = \frac{1}{3}\pi  \cdot r \cdot \sqrt { - 2{r^2} + 1} \).

Đặt \(h(r) = \sqrt { - 2{r^4} + {r^2}}  \Rightarrow h'\left( r \right) = \frac{{ - 8{r^3} + 2r}}{{2\sqrt { - 2{r^4} + {r^2}} }} = \frac{{ - 4{r^2} + 1}}{{\sqrt { - 2{r^2} + 1} }} = 0\) \( \Leftrightarrow r =  \pm \frac{1}{2}.\)

Ta có bảng biến thiên:

Như vậy, \[{V_{\max }} \Leftrightarrow r = \frac{1}{2}m = 50\;\,({\rm{cm)}}.\] Đáp án: 50.