Cho một miếng bìa hình vuông M N P Q có cạnh bằng 20 cm. Trên các cạnh M N , N P , P Q , Q M lấy theo thứ tự các điểm D , E , F , G sao cho M D = N E = P F = Q G . Tính độ dài M D

Điều kiện: \(0 \le x \le 20\).

Vì \(MD = NE = PF = QG = x\) nên \[MG = QF = PE = ND = 20 - x\].

Diện tích tấm bìa hình vuông \(MNPQ\) là: \({S_{MNPQ}} = {20^2} = 400\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Các tam giác vuông\(MDG,NDE,PEF,QGF\) có hai cạnh góc vuông có độ dài là \(x\) và \(20 - x\) nên đều có diện tích là: \(\frac{1}{2}x\left( {20 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Như vậy, diện tích tứ giác \(DEFG\) là:

\(S = {S_{MNPQ}} - \left( {{S_{MDG}} + {S_{NDE}} + {S_{PEF}} + {S_{QGF}}} \right)\)

\( = 400 - \frac{1}{2}x\left( {20 - x} \right)\)

\( = 400 - 10x + \frac{1}{2}{x^2}\)

\( = 350 + \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 20x + 100} \right)\)

\( = 350 + \frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2}\).

Vì \({\left( {x - 10} \right)^2}\, \ge 0\) nên \(\frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2}\, \ge \frac{1}{2}.0 = 0\).

Do đó \(350 + \frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2} \ge 350 + 0 = 350\).

Vì vậy \(S\, \ge 350\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 10 = 0\) hay \(x = 10\).

So với điều kiện \(0 \le x \le 20\), ta nhận \(x = 10\).

Vậy độ dài \(MD\) bằng \(10\) cm thì tứ giác \(DEFG\) có diện tích nhỏ nhất.