Cho một lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng lục giác đều có diện tích 6can3 cm2, hãy tính độ dài cạnh của hình vuông đã cho.

Lục giác đều là hợp của 6 tam giác đều cạnh a, mỗi tam giác có chiều cao \(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\)

Vì diện tích của lục giác đều là \(6\sqrt 3 \) cm² nên ta có:

\(6\sqrt 3 = 6.\frac{{ah}}{2} = 6.\frac{{a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2},\) hay a = 2 (cm).

Đường tròn ngoại tiếp lục giác đều này có bán kính: R = a = 2 (cm).

Do bán kính đường tròn này bằng một nửa đường chéo của hình vuông, nên hình vuông có độ dài đường chéo bằng 1 cm.

Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông.

Theo định lí Pythagore, ta có: b² + b² = 1² = 1, hay \(b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (cm).