Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm
37/40
Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.
a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]
b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]
c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.
a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ
Ta có AO' // AO nên \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{S{A^\prime }}}{{SA}}\).
Lại có A \({\rm{C}}//\) SO nên \(\frac{{S{A^\prime }}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).
Từ đó suy ra \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).
Mà \(SO = 12\;{\rm{cm}},OA = 5\;{\rm{cm}},OC = r,S{O^\prime } = SO - O{O^\prime } = 12 - h\).
Do đó, \(\frac{{12 - h}}{{12}} = \frac{r}{5}\). Suy ra \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\).
b) Thể tích của khối trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {\left[ {\frac{{5(12 - h)}}{{12}}} \right]^2} \cdot h = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Vậy thế tích khối trụ theo h là \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\).
c) Rõ ràng \({\rm{h}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < h < 12\).
Xét hàm số \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\) với \(h \in (0;12)\).
Ta có \({V^\prime }(h) = \frac{{25\pi (12 - h)(12 - 3h)}}{{144}}\).
Trên khoảng \((0;12)\), ta có \({\rm{V}}({\rm{h}}) = 0\) khi \({\rm{h}} = 4\).
Bảng biến thiên:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \((0;12)\), hàm số \({\rm{V}}({\rm{h}})\) đạt giá trị lớn nhất bẳng \(\frac{{400\pi }}{9}\) tại \(h = 4\).
Vậy \({\rm{h}} = 4\;{\rm{cm}}\) thì khối trụ có thế tích lớn nhất