Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết hình vuông có cạnh bằng 3cm. Diện tích của một hình lục giác đều đã cho là

Đáp án đúng là: A

Ta có tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\).

Theo định lí Pythagore vào \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\), ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\).

Khi đó \({R^2} + {R^2} = 9\) hay \(2{R^2} = 9\).

Do đó \({R^2} = \frac{9}{2}\) suy ra \(R = \sqrt {\frac{9}{2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Ta có cạnh của hình lục giác đều bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Xét tam giác đều \(KOI\) cạnh \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) nên đường cao \(ON = OK \cdot \sin \widehat {OKN} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó diện tích tam giác \(KOI = \frac{1}{2} \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{18\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích hình lục giác đều là: \(S = 6 \cdot \frac{{18\sqrt 3 }}{8} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích của một hình lục giác đều đã cho là \(\frac{{27\sqrt 3 }}{2}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)