Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB ( C khác A và B ).

Vì dây AB cố định nên ACB^=12sđAB⏜ không đổi.

Đặt ACB^=α. Ta có:

BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).

⇒BAC^+ABC^=180°−ACB^=180°−α.

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI lần lượt là tia phân giác của hai góc A và B. Suy ra

IAB^=12BAC^; IBA^=12ABC^⇒IAB^+IBA^=12BAC^+ABC^=90°−α2

Lại có: AIB^+IAB^+IBA^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).

⇒AIB^=180°−IAB^+IBA^=180°−90°−α2=90°+α2 không đổi.

Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ là đường thẳng AB nên I luôn chuyển động trên cung chứa góc 90°+α2 dựng trên đoạn AB.