Cho một dãy gồm bốn số theo thứ tự ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân và ba số hạng cuối lập thành một cấp số cộng. Biết tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14 và tổng của hai số hạng

Đáp án

Số hạng đầu của dãy số là \(\frac{{25}}{2}\).

Công bội của ba số hạng đầu của dãy là -3 .

Công sai của ba số hạng cuối của dãy là \(\frac{3}{5}\).

Giải thích

Gọi 4 số phải tìm là \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4}\). Theo bài ra ta có hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a_2^2 = {a_1}{a_3}}\\{2{a_3} = {a_2} + {a_4}}\\{{a_1} + {a_4} = 14}\\{{a_2} + {a_3} = 12}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2} + {a_4} = 2{a_3}}\\{{a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}}\\{{a_2} + {a_3} = 12}\end{array} = 26 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} + 3{a_3} = 26}\\{{a_2} + {a_3} = 12}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} + 3{q^2}{a_1} = 26}\\{q{a_1} + {q^2}{a_1} = 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1 + 3{q^2}} \right){a_1} = 26}\\{\left( {q + {q^2}} \right){a_1} = 12}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow 12\left( {1 + 3{q^2}} \right) = 26\left( {q + {q^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{q^2} - 13q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = 2 \Rightarrow {a_1} = 2 \Rightarrow {a_2} = 4;{a_3} = 8;{a_4} = 12}\\{q = \frac{3}{5} \Rightarrow {a_1} = \frac{{25}}{2} \Rightarrow {a_2} = \frac{{15}}{2};{a_3} = \frac{9}{2};{a_4} = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy có hai bộ số cần tìm: \(\left( {2,4,8,12} \right),\left( {\frac{{25}}{2},\frac{{15}}{2},\frac{9}{2},\frac{3}{2}} \right)\).

Xét các số trong bảng kéo thả ta thấy chỉ có bộ số \(\left( {\frac{{25}}{2},\frac{{15}}{2},\frac{9}{2},\frac{3}{2}} \right)\) thỏa mãn với số hạng đầu là \(\frac{{25}}{2}\); công sai là -3 và công bội là \(\frac{3}{5}\).