Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24 850.

6/10

Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24 850. Giá trị của \[S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + .. + \frac{1}{{{u_{49}} \cdot {u_{50}}}}\] là

\[S = \frac{9}{{246}}\] ;

\[S = \frac{4}{{23}}\];

\[S = \frac{1}{3}\];

\[S = \frac{{49}}{{246}}\].

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có: \[{S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850\]

\[ \Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5\]

\[ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.\]