Cho một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng 2 km , đường kính PR như hình vẽ sau : Từ điểm P anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 k m / h đến điểm Q trên bờ hồ, rồi chạy bộ d
19/22
Cho một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng \(2\,\,{\rm{km}}\), đường kính \(PR\)như hình vẽ sau :
Từ điểm \(P\)anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc \(3\,\,{\rm{km/h}}\) đến điểm \(Q\) trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí \(R\) với vận tốc \(6\,\,{\rm{km/h}}\). Thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là bao nhiêu? (thời gian tính bằng phút).
Đặt \(\widehat {QPR} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(\Delta PQR\) vuông tại \(Q\) \( \Rightarrow PQ = PR.\cos \varphi = 4\cos \varphi \).
Mà \(\widehat {QOR} = 2\widehat {QPR} = 2\varphi \).
Độ dài cung tròn \(QR = 2.2\varphi = 4\varphi \).
Thời gian anh Tài chèo từ \(P\) đến \(Q\) là: \(\frac{{4\cos \varphi }}{3}\) (giờ).
Thời gian anh Tài chèo từ \(Q\) đến \(R\) là: \(\frac{{4\varphi }}{6} = \frac{{2\varphi }}{3}\) (giờ).
Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là: \(t = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\,\,\left( {0 < \varphi < \frac{\pi }{2}} \right)\).
Xét hàm số \(t\left( \varphi \right) = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\) với \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4\sin \varphi + 2} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = 0,\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin \varphi = \frac{1}{2},\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\).
Bảng biến thiên
Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\)là \(t\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,5\)(giờ) hay 90 phút.