Cho ΔMNP vuông tại M(MP<MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ=MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR=MN. Gọi RN giao PQ tại S.

a) Đúng.

Ta có: \(MQ = MP\) (gt) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)

b) Sai.

Có \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\) nên \(\widehat {MPQ} = \frac{{180^\circ - \widehat {PMQ}}}{2} = \frac{{180 - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Vì \(MR = MN\) (gt) nên \(\Delta MNR\) cân tại \(M\).

Do đó, \[\widehat {SRP} = \frac{{180^\circ - \widehat {RMN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \].

c) Đúng.

Ta có: \[\widehat {RSP} + \widehat {SRP} + \widehat {SPR} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc trong tam giác)

\(\widehat {RSP} = 180^\circ - \left( {\widehat {SRP} + \widehat {SPR}} \right) = 90^\circ \)

Suy ra \(PQ \bot NR\).

d) Đúng.

Xét \(\Delta PRN\) có: \(MN \bot RP\) (gt) và \(PS \bot RN\) (cmt)

Mà \(NM\) giao \(PS\) tại \(Q\).

Do đó, \(Q\) là trực tâm \(\Delta PRN\).