Cho ΔMNP có I là trung điểm cạnh NP. Trên tia đối của IM lấy D sao cho IM = ID

a) Xét ΔMIN và ΔDIP có:

IM = ID (giả thiết)

\(\widehat {MIN} = \widehat {PID}\)(đối đỉnh)

NI = IP

Suy ra: ΔMIN = ΔDIP (c.g.c)

b) Theo phần a có ΔMIN = ΔDIP nên MN = PD và \(\widehat {MNI} = \widehat {IPD}\)(hai cạnh và hai góc tương ứng)

Mà hai góc \(\widehat {MNI},\widehat {IPD}\) ở vị trí so le trong nên MN // PD

c) Xét ΔMIP và ΔDIN có:

MI = ID

\(\widehat {MIP} = \widehat {NID}\)(đối đỉnh)

IP = IN

Suy ra: ΔMIP = ΔDIN (c.g.c)

⇒\(\widehat {IND} = \widehat {IPM}\)(hai góc tương ứng)

Suy ra: ND // MP (*) và ND = MP (1)

Xét ΔEHN và ΔPHM có:

HE = HP (giả thiết)

\(\widehat {EHN} = \widehat {MHP}\)(đối đỉnh)

HM = HN (giả thiết)

Suy ra: ΔEHN = ΔPMH (c.g.c)

⇒\(\widehat {HMP} = \widehat {HNE}\)(hai góc tương ứng) và EN = MP (2)

Mà hai góc \(\widehat {MNI},\widehat {IPD}\) ở vị trí so le trong nên NE // MP (**)

Từ (*) và (**) suy ra: ND trùng NE hay E, N, D thẳng hàng

Từ (1) và (2) suy ra: NE = ND

Vậy N là trung điểm ED.