Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm

9/10

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?

$\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + R^{2}$

$\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} - R^{2}$

$\vec{A M} . \vec{A N} = 2 d^{2} + R^{2}$

$\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + 2 R^{2}$

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A M} . \vec{A N} = (\vec{O M} - \vec{O A}) . (\vec{O N} - \vec{O A})$

$= \vec{O M} . \vec{O N} - \vec{O M} . \vec{O A} - \vec{O A} . \vec{O N} + {\vec{O A}}^{2}$

$= \vec{O M} . \vec{O N} - (\vec{O M} + \vec{O N}) . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2}$

Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:

+) $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{O M}, \vec{O N}$ là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.

Do đó: $\vec{A M} . \vec{A N}$ $= |\vec{O M}| . |\vec{O N}| . \cos 180 ° - \vec{0} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2}$

$= R . R . (- 1) + d^{2} = d^{2} - R^{2}$ .