Cho mặt phẳng P):x - y - z - 1 = 0\) và hai điểm A(-5; 1; 2)

85/235

Cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( { - 5\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right).\) Trong tất cả các điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\), để \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm đó có tung độ \({y_M}\) là (nhập đáp án vào ô trống):

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \[\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0 \Rightarrow I\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\]

Khi đó \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 3MI \Rightarrow {T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó đường thẳng \[MI\] đi qua \[I\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right)\] và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên nhận VTPT\(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\) của \(\left( P \right)\) làm VTCP, phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 - t}\end{array}\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)

Ta có \(M = IM \cap \left( P \right)\). Toạ độ \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 - t}\\{x - y - z - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{x = 0}\\{y = - 2}\\{z = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right) \Rightarrow {y_M} = - 2.\)

Đáp án cần nhập là: −2.