Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (A, B, C). Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ.

Các vectơ \(\vec i = (1;0;0),\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ \(({\rm{Oyz}}),({\rm{Ozx}})\) và \(({\rm{Oxy}})\).

Ta có:

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Oyz}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 1 + {\rm{B}} \cdot 0 + {\rm{C}} \cdot 0|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|{\rm{A}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }};\)

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Ozx}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 0 + {\rm{B}} \cdot 1 + {\rm{C}} \cdot 0|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|{\rm{B}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }}\)

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Oxy}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 0 + {\rm{B}} \cdot 0 + {\rm{C}} \cdot 1|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|{\rm{C}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }}.\)