Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − m^2 + 4 m − 5 = 0 và mặt cầu có phương trình ( S ) : x^2 + y^2 + z^2 − 2 x + 2 y − 2 z − 6 = 0 . Giá trị của m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) là

13/20

Cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y + z - {m^2} + 4m - 5 = 0\] và mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\]. Giá trị của \[m\] để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[\left( S \right)\] là

\[m = - 1\] hoặc \[m = 5.\]

\[m = 1\] hoặc \[m = - 5.\]

\[m = - 1.\]

\[m = 5.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\]

\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\]

Vậy tâm của mặt cầu là \[I\left( {1; - 1;1} \right)\] và bán kính \[R = 3.\]

Để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[\left( S \right)\] thì \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\].

Suy ra \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1 - {m^2} + 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - {m^2} + 4m - 4} \right|}}{3} = 3\].

Hay \[\left| { - {m^2} + 4m - 4} \right| = 9\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 4 = 9\\ - {m^2} + 4m - 4 = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 13 = 0\\ - {m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right.\]

Giải phương trình, ta có nghiệm \[m = - 1\] hoặc \[m = 5.\]