Cho mặt cầu (O) nội tiếp hình chóp tứ giác đều P.ABCD biết PA = AB = 2. Cho EF là một đường kính của (O). Điểm Q thuộc mặt ngoài của hình chóp. Giá trị lớn nhất của QE . QF.

Đáp án: 2

Gọi \[H\] là tâm của đáy \[ABCD\]. Vì là hình chóp đều nên \[PH \bot ABCD\].

Đáy là hình vuông cạnh \[AB = a = 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2  \Rightarrow PH = \sqrt {P{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} - \left( {\sqrt 2 } \right)2}  = \sqrt 2 \]

Mặt cầu \[\left( O \right)\] nội tiếp hình chóp tứ giác đều \[P.ABCD\]tiếp xúc với đáy tại \[H\]. Do đó tâm O nằm trên đoạn \[PH\]và \[OH = R\].

Xét mặt phẳng đi qua \[P,H\]và trung điểm \[M\] của cạnh \[AB\]. Trong tam giác\[PHM\], đường phân giác của \[\widehat {PMH}\] cắt \[PH\] tại \(O\).

Ta có \[HM = \frac{{AB}}{2} = 1,PM = \sqrt {P{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \]

\[\overrightarrow {QE} .\overrightarrow {QF}  = \left( {\overrightarrow {QO}  + \overrightarrow {OE} } \right)\left( {\overrightarrow {QO}  + \overrightarrow {OF} } \right) = \left( {\overrightarrow {QO}  + \overrightarrow {OE} } \right)\left( {\overrightarrow {QO}  - \overrightarrow {OE} } \right) = Q{O^2} - {R^2}\]

\[O{A^2} = {1^2} + {1^2} + {\left( {0 - R} \right)^2} = 2 + {R^2}\]

Để biểu thức đạt GTLN ta cần tìm điểm \(Q\) thuộc mặt ngoài của hình chóp sao cho khoảng cách \(QO\) là lớn nhất. \[QO\]lớn nhất khi \[QO = OA\].

Vậy \[Q{O^2} - {R^2} = 2 + {R^2} - {R^2} = 2\].