Cho M là tập hợp các số phức z thỏa mãn |2z-i| = |2+iz|

18/150

Cho \[M\] là tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|.\) Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thuộc tập hợp \[M\] sao cho \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)

\(P = \sqrt 3 .\)

\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

\(P = \sqrt 2 .\)

\(P = 2.\)

Giải thích

Đặt \(z = x + yi,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

Ta có \[\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} \right)i} \right| = \left| {2 - y + xi} \right|\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2} + {{\left( {2y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} \right)}^2} + {x^2}} \]\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1.\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên mặt phẳng phức là đường tròn \(\left( {O;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1.\)

Lại có \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Rightarrow {P^2} = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 .\) Chọn A.