Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AA' = a. Khoảng cách giữa AB' và C' bằng a căn 3 \. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

35/50

Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có \[AA' = a\]. Khoảng cách giữa AB' và \[CC'\] bằng $a\sqrt 3 $ . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]

\[\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\]

\[{a^3}\sqrt 3 .\]

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\]

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]

Giải thích

$Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có \[AA' = a\]. Khoảng cách giữa .. và \[CC'\] bằng$a\sqrt 3 $ . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] (ảnh 1)$

Ta có

$BB'//CC' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'} \right)$ hay $CC'//\left( {ABB'A'} \right).$

Do đó $d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).$

Kẻ $CH \bot AB$ tại $H.$

Ta có $CH \bot AB$ và CH⊥BB' nên $CH \bot \left( {ABB'A'} \right).$

Do đó $d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = a\sqrt 3 .$

Trong tam giác $ABC$ có HB2+HC2=BC2⇔BC24+3a2=BC2⇔BC=2a.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\frac{1}{2}BA.BC.\sin {60^0} = a.\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 3 .$

Đáp án B