Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', ACC'. Gọi M, M', N lần lượt là trung điểm của BC, B'C', CC'. Xét tính đúng sai của các khẳng định s

a) Đúng:\(MM'\) là đường trung bình của hình bình hành \(BCC'B'\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}MM'{\rm{//}}BB'\\MM' = BB'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MM'{\rm{//}}AA'\\MM' = AA'\end{array} \right.\].

Vậy \(AMM'A'\) là hình bình hành.

b) Sai: Sử dụng tính chất trọng tâm trong tam giác, suy ra \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

c) Sai: Vì \(I,K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ABC,A'B'C'\) nên \(IM = KM' = \frac{1}{3}A'M' = \frac{1}{3}AM\).

Mà \(IM{\rm{//}}KM'\) nên \(IKM'M\) là hình bình hành.

Suy ra \(IK{\rm{//}}MM'\), mà \(MM' \subset \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow IK{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\quad \left( 1 \right)\).

Trong tam giác \(AMN\) có \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(IG{\rm{//}}MN\).

Mà \(MN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(IG{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\quad \left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {IKG} \right){\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).

d) Đúng: Vì \(\left( \alpha \right)\) qua \(H\) và song song với mặt phẳng đáy nên \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng \({d_1}\) qua \(H\) và song song \(AB\), \({d_1} \cap BB' = P\).

\(\left( \alpha \right)\) cắt mặt \(\left( {BCC'B'} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng \({d_2}\) qua \(P\) và song song \(BC\).

Gọi \({d_2} \cap CC' = K;\,{d_2} \cap CB' = J \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap CB' = J\).

Ta có \(BP = CK\) nên \(\frac{{JC}}{{JB'}} = \frac{{CK}}{{PB'}} = \frac{{BP}}{{PB'}} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(\frac{{JC}}{{JB'}} = \frac{1}{3}\).