Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \[a.\] Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \). Đ

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(\Delta ABC\)đều nên \(AI \bot BC\) và \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AI}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AIA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'I\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC}\\{AI \subset \left( {ABC} \right),{\mkern 1mu} \,AI \bot BC}\\{A'I \subset \left( {ABC} \right),{\mkern 1mu} \,A'I \bot BC}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \alpha  = \widehat {\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right)} = \widehat {AIA'}\)

Xét tam giác vuông \(AIA'\) ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{AA'}}{{AI}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án:\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)