Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là 3a / 2. Tính số đo góc tạo

31/50

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là \(\frac{{3a}}{2}\). Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)

\({60^0}\)

\({30^0}\)

\({45^0}\)

\({75^0}\)

Giải thích

Đáp án A

Phương pháp:

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là 3a / 2. Tính số đo góc tạo (ảnh 1)

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của\(\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)\) .

- Xác định 1 mặt phẳng\(\left( \gamma \right) \bot \Delta \) .

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),\,\,b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là 3a / 2. Tính số đo góc tạo (ảnh 2)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right):\,\,\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right) = \left( {a;b} \right)\)

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, \(AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) đều)

Mà \(BC \bot AA' \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'BC} \right)} \right) = \left( {AM,A'M} \right) = AMA'\)

\(\Delta ABC\) đều, cạn bằng a \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta AMA'\) vuông tại A

\( \Rightarrow \tan AMA' = \frac{{AA'}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow AMA' = {60^0}\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right) = {60^0}\)