Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D', có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và góc ABC = 120 độ. Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng 60 độ. Đỉnh A' cách đều các điểm A,B,D. Tính theo a thể tích V củ

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết suy ra tam giác \[ABD\] đều cạnh \[a\].

Gọi \(H\) là tâm tam giác \(ABD\). Vì \[A'\] cách đều các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\] nên \(A'H \bot \left( {ABD} \right)\).

Do đó \(60^\circ  = \left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AA',HA} \right) = \widehat {A'AH}\).

Ta có \(AH = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Tam giác vuông \(A'AH\), có \(A'H = AH.\tan \widehat {A'AH} = a\).

Diện tích hình thoi \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)