Cho lăng trụ ABC.A'B'C', đáy là tam giác đều cạnh a, AA' = AB' = AC' = a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng. A. a^3 căn bậc hai của 3 /4     B. a^3 căn bậc hai của 2/4   C. a^3 căn bậc hai

Lời giải

 

Chọn B.Ta thấy \(A.A'B'C'\) là tứ diện đều cạnh \(a.\)Mà \({V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A.A'B'C'}}\)Gọi \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A'B'C'\).Thì \(AH\) là đường cao của hình chóp \(A.A'B'C'\).Ta có \(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\) nên :\(A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .Diện tích tam giác \(A'B'C'\) là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) nên thể tích khối tứ diện \(AA'B'C'\) là:\({V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}AH.S = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = 3.{V_{A.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\) .