Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là hình chóp tam giác đều có

Gọi \({\rm{O}}\) là trọng tâm tam giác \({\rm{ABC}}\) \( \Rightarrow A'{\rm{O}} \bot \left( {{\rm{ABC}}} \right)\) vì \(A'{\rm{.ABC}}\) là hình chóp tam giác đều. Gọi \({\rm{H}}\) là trung điểm \({\rm{AB}} \Rightarrow {\rm{CH}} \bot {\rm{AB}}\).

\({\rm{Ta}}\) có \[{\rm{AB}} = {\rm{a}} \Rightarrow {\rm{CH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,{\rm{OH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{6}\,;\,\,{\rm{AO}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}.\]

Áp dụng định lý Pythagore trong \[\Delta A'OA,\]ta có:

\(A'{\rm{O}} = \sqrt {A'{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{O}}^2}}  = \frac{{\rm{a}}}{2}\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{OH}} \bot {\rm{AB}}}\\{A'{\rm{O}} \bot {\rm{AB}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{AB}} \bot \left( {A'{\rm{OH}}} \right) \Rightarrow {\rm{AB}} \bot A'{\rm{H}}\).

\[\left( {{\rm{AB}}B'A'} \right) \cap \left( {{\rm{ABC}}} \right) = {\rm{AB}}\,;\,\,{\rm{OH}} \bot {\rm{AB}},\,\,A'{\rm{H}} \bot {\rm{AB}}\]

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {{\rm{AB}}B'A'} \right),\left( {{\rm{ABC}}} \right)} \right)} = \widehat {\left( {{\rm{OH}},\,\,A'{\rm{H}}} \right)} = \widehat {{\rm{OH}}A'}\).

Ta có \(\tan \widehat {{\rm{OH}}A'} = \frac{{A'{\rm{O}}}}{{{\rm{OH}}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {{\rm{OH}}A'} = 60^\circ .\)

Vậy \(\widehat {\left( {\left( {{\rm{AB}}B'A'} \right),\left( {{\rm{ABC}}} \right)} \right)} = 60^\circ .\)

Đáp án: 60.