Cho khối tứ diện SABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho M A = 2 S M , S N = 2 N B , ( α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu ( H 1 ) và ( H 2 )

84/100

Cho khối tứ diện SABC, M và $N$ là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $MA = 2SM,\,\,SN = 2NB$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right)$ là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện SABC bởi mặt phẳng $(\alpha )$, trong đó $\left( {{H_1}} \right)$ chứa điểm $S,$ $\left( {{H_2}} \right)$ chứa điểm $A;$${V_1}$ và ${V_2}$ lần lượt là thể tích của $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right)$. Tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ bằng

$\frac{4}{5}$.

$\frac{4}{3}$.

$\frac{3}{4}$.

$\frac{5}{4}$.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

$Cho khối tứ diện SABC, M và $N$ là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $MA = 2SM,\,\,SN = 2NB$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right)$ là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện SABC bởi mặt phẳng $(\alpha )$, trong đó $\left( {{H_1}} \right)$ chứa điểm $S,$ $\left( {{H_2}} \right)$ chứa điểm $A;$${V_1}$ và ${V_2}$ lần lượt là thể tích của $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right)$. Tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ bằng A. $\frac{4}{5}$. B. $\frac{4}{3}$. C. $\frac{3}{4}$. D. $\frac{5}{4}$. (ảnh 1)$

Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SC cắt BC và AC lần lượt tại P và Q thỏa mãn MQ//SC và NP//SC.

Áp dụng định lí Ta - lét, ta suy ra:

CP = 2BP; AQ = 2QC; AM = 2MS; SN = 2NB.

Gọi V là thể tích của khối tứ diện SABC.

Xét ${V_2} = {V_{MNABPQ}} = {V_{N.ABPQ}} + {V_{Q.AMN}}$.

$\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{{V_{N.ABPQ}}}}{V} + \frac{{{V_{Q.AMN}}}}{V}$

$\frac{{{V_{N.ABPQ}}}}{V} = \left( {1 - \frac{{CQ}}{{CA}}.\frac{{CP}}{{CB}}} \right).\frac{{BN}}{{BS}} = \left( {1 - \frac{1}{3}.\frac{2}{3}} \right).\frac{1}{3} = \frac{7}{{27}}$

$\frac{{{V_{Q.AMN}}}}{V} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{27}}$

Vậy $\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{5}{9} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{5}$.

Chọn A