Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng a^3 căn bậc hai 2 / 12

Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm tam giác BCD.

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên BCD là tam giác đều.

Mà O là trọng tâm tam giác BCD nên O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do đó AO ⊥ (BCD).

Xét tam giác đều BCD có: DM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC) cũng đồng thời là đường cao của tam giác nên DM ⊥ BC.

Do M là trung điểm của BC nên MC=BC2=a2.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M (do DM ⊥ BC) có:

DC² = DM² + MC²

Do đó DM=DC2−MC2=a2−a22=a32.

Vì O là trọng tâm tam giác BCD nên OD=23DM=23.a32=a33.

Do AO ⊥ (BCD) và DO ⊂ (BCD) nên AO ⊥ DO, do đó tam giác ADO vuông tại O.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O có:

AD² = AO² + DO²

Suy ra AO=AD2−DO2=a2−a332=a2−a23=2a23=a63.

Diện tích tam giác BCD đều có đường cao DM là: SΔBCD=12.DM.BC=12.a32.a=a234 (đvdt).

Thể tích của khối tứ diện đều ABCD cạnh a có chiều cao AO=a63 và diện tích đáy SΔBCD=a234 là:

VABCD=13SΔBCD.AO=13.a234.a63=a3212 (đvtt).