Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC và BD thoả mãn AC^2+BD^2=16

Gọi \[E,\,\,F\] lần lượt là trung điểm của \[BD,\,\,AC.\]

Giả sử \[AC = a\,;\,\,BD = b\], theo giả thiết ta có \({a^2} + {b^2} = 16\,\,(a,b > 0)\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có: AC chung; \(AB = AD\); \(BC = CD\).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta ADC\,\,(c.c.c)\)

Suy ra \(BF = GF\) (hai trung tuyến tương ứng).

Ta có \(BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4}} \)

\(EF = \sqrt {B{F^2} - B{E^2}}  = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{b^2}}}{4}}  = \sqrt {36 - \frac{{16}}{4}}  = \sqrt {32} \)

\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}EF \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {32}  \cdot b = 2\sqrt 2 b\)

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array} \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)} \right.\).

Khi đó \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)\( = \frac{1}{3}AF \cdot {S_{BDF}} + \frac{1}{3} \cdot CF \cdot {S_{BDF}}\)

\( = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot \left( {AF + CF} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot AC\)\( = \frac{1}{3}a \cdot 2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\).

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8 \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 } \right..\)

Đáp án: \[\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\].