Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O'). AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O)

Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường tròn (O).

C', D' lần lượt là hình chiếu của C, D lên đường tròn (O').

Suy ra AC'BD' là hình bình hành, lại có AB = CD = C'D' nên AC'BD' là hình chữ nhật.

Khi đó AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật.

Ta có: V_{AC'BD'.A'CB'D} = V_A.BCD + V_A.A'CD + V_B.B'CD + V_C.C'AB + V_D.D'AB

\({V_{A.A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,{S_{A'CD}} = \frac{1}{3}AA'\,.\,\frac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)

Chứng minh tương tự ta có: \({V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)

\[ \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4\,.\,\frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\]

\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30\]

Þ V_{AC'BD'.A'CB'D} = 90.

Theo bài ra ta có: \(\left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = 30^\circ \Rightarrow \left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = 30^\circ \).

Giả sử \(\left( {\widehat {AB;\;C'D'}} \right) = \widehat {AOC'} = 30^\circ \).

Lại có: \[OA = OC' = \frac{1}{2}AB = 3\]

\( \Rightarrow {S_{OAC'}} = \frac{1}{2}OA\,.\,OC'\,.\,\sin \widehat {AOC'} = \frac{1}{2}\,.\,3\,.\,3\,.\,\sin 30^\circ = \frac{9}{4}\)

Þ S_AC'BD' = 4S_OAC' = 9.

Ta có: V_{AC'BD'.A'CB'D} = AA'.S_AC'BD'

Þ 90 = AA'.9 Û AA' = 10.

Vậy thể tích khối trụ là:

V =pr²h =p.OA².AA' =p.3².10 = 90p.