Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng a √ 3 và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Giải thích

Dựng hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Ta có \(B{C^\prime }//A{D^\prime }\) và \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình thoi.

Gọi \({A^\prime }{B^\prime } = x \Rightarrow {B^\prime }{D^\prime } = x\sqrt 3 \).

Vì \(B{C^\prime }//A{D^\prime }\) và \(A{B^\prime } \bot B{C^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } \bot A{D^\prime }\) và \(A{B^{\prime 2}} = A{A^{\prime 2}} + {A^\prime }{B^{\prime 2}} = {x^2} + 3{a^2}\).

Vì \(\Delta A{A^\prime }{D^\prime } = \Delta A{A^\prime }{B^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } = A{D^\prime } = {x^2} + 3{a^2}\).

Ta có: \({B^\prime }{D^{\prime 2}} = A{B^{\prime 2}} + A{D^{\prime 2}} = 2{x^2} + 6{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 6 \).

Khi đó, $S_{△ABC}=\frac{{\left(a\sqrt{6}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{9a^3}{2}$

Chọn D