Cho khối lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy là \[2a\] và khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng \[a\].

25/150

Cho khối lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy là \[2a\] và khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng \[a\]. Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là

\[\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\].

\[2\sqrt 2 {a^3}\].

\[\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\].

Giải thích

$Cho khối lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy là \[2a\] và khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng \[a\]. (ảnh 1)$

Gọi $M$ là trung điểm của \[BC\] ta có

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'BC} \right)\]

Trong \[\left( {A'BC} \right)\] kẻ \[AH \bot A'M{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {H \in A'M} \right)\] ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot BC}\\{AH \bot A'M}\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\]\[ \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = a\]

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM = 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ và ${S_{ABC}} = {\left( {2a} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AA'M$ ta có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}}$$ \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow A'A = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \cdot {a^2}\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}$. Chọn D.