Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và thể tích bằng a^3 căn 6/4

Diện tích tam giác \[ABC\] là \({S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}.\)

Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = AA' \cdot \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{4} \Leftrightarrow AA' = \sqrt 2 a.\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AH \bot BC\) mà \(BB' \bot AH\)

Suy ra \[AH \bot \left( {BB'C'C} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {AB'\,,\,\,\left( {BB'C'C} \right)} \right)} = \widehat {AB'H}.\]

Xét tam giác \(AB'H\) vuông tại \(H\) có \(\sin \widehat {AB'H} = \frac{{AH}}{{AB'}}\)

Mà \(AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\,;\,\,AB' = \sqrt 3 a\) nên \(\sin \widehat {AB'H} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AB'H} = 30^\circ .\)

Đáp án: 30.