Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Biết BD = 2 căn bậc hai 2, góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng 45 độ. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu

23/40

Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $BD = 2\sqrt 2 $, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

$2\sqrt 2 $.

$4\sqrt 2 $.

$8$.

$2$.

Giải thích

$Khi đó \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = (ảnh 1)$

Gọi $O$là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Có $AO \bot BD$ mà $AA' \bot BD$ nên $BD \bot \left( {AA'O} \right) \Rightarrow BD \bot A'O$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\AO \bot BD\\A'O \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {A'BD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'O,AO} \right) = \widehat {A'OA} = 45^\circ $.

Lại có $\Delta A'AO$ vuông tại $A$ và $\widehat {A'OA} = 45^\circ $ nên $\Delta A'AO$ vuông cân tại $A$.

Suy ra $AA' = AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{BD}}{2} = \sqrt 2 $.

Vì $BD = 2\sqrt 2 $ mà $ABCD$ là hình vuông nên $AB = 2$.

Khi đó ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA' \cdot {S_{ABCD}} = \sqrt 2 \cdot {2^2} = 4\sqrt 2 $. Chọn B.