Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách giữa đường thẳng B'C' với mặt phẳng (A'BC) bằng căn bậc hai của 3 chia 3. Thể tích của khối lăng trụ đã
Ta có \(AB' \cap A'B = I\) là trung điểm của mỗi đường.
Khi đó \(d\left( {B'C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{B'I}}{{AI}}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Kẻ \(AH \bot BC\) (\(H\) là trung điểm của \(BC\)) suy ra:
\(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right) \bot \left( {A'AH} \right),\left( {A'BC} \right) \cap \left( {A'AH} \right) = A'H\).
Kẻ \(AK \bot A'H \Rightarrow AK \bot \left( {A'AB} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'AB} \right)} \right) = AK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Ta lại có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} \Rightarrow AA' = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy thể tích của lăng trụ là .