Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A

Kẻ \(AH \bot BC\), ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\)

Suy ra \(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow A'H \bot BC\)

Do đó \(\left( {\left( {A'BC} \right),\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'H,\,AH} \right) = \widehat {A'HA} = 60^\circ \)

\(\Delta A'AH\) vuông tại \(A\), có \[\tan \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{AH}}\]

\[ \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{6}{{AH}} \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 .\]

Xét \[\Delta ABC\] vuông cân tại \(A\) nên \(BC = 2AH = 4\sqrt 3 .\)

Diện tích \[\Delta ABC\] là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 3 = 12.\)

Vậy thể tích cần tính là \(V = AA' \cdot {S_{ABC}} = 6 \cdot 12 = 72\).

Đáp án cần nhập là: 72