Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Khối chóp S.ABC đều nên H là trọng tâm ∆ABC.

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét ∆ABI có:\(AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = {\sqrt {{a^2} - \left( {\frac{a}{2}} \right)} ^2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). 

Vì H là trọng tâm ∆ABC nên:\(AH = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) 

Lại có: AH là hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC)

\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \widehat {SAH} = 30^\circ \).

Xét ∆SAH: \(SH = \tan 30^\circ .AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{a}{3}\)  

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AI.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)  

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).