Cho khối chóp S.ABC có đáy ABClà tam giác vuông tại

17/22

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = 3\), \(SA \bot (ABC)\) và \(SB = 6\). Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(SB\). Biết góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CE\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích của khối chóp đã cho.

Giải thích

Đáp án: 9.

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABClà tam giác vuông tại (ảnh 1)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(E\) là trung điểm của \(SB\) và \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(EM\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Do đó \[EM\,{\rm{//}}\,SA\] và \(EM = \frac{1}{2}SA\).

Vì \(SA \bot (ABC)\) và \[EM\,{\rm{//}}\,SA\] nên \(EM \bot (ABC)\).

Mặt khác, \(MC \subset (ABC)\) nên \(EM \bot MC\).

Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CE\) bằng góc giữa \(EM\) và \(CE\), tức là \(\widehat {CEM} = {60^\circ }\).

Xét tam giác vuông \(EMC\) tại \(M\), ta có \(\tan \widehat {CEM} = \frac{{MC}}{{EM}}\).

\( \Rightarrow \tan {60^\circ } = \frac{{MC}}{{EM}} \Rightarrow \sqrt 3 = \frac{{MC}}{{EM}} \Rightarrow MC = EM\sqrt 3 \). Vì \(EM = \frac{{SA}}{2}\) nên \(MC = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(SAB\) tại \(A\), ta có: \(S{A^2} + A{B^2} = S{B^2} \Rightarrow S{A^2} + A{B^2} = {6^2} = 36\) (1).

Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(B\) (do vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\), và \(M\) trên \(AB\), nên \(MB \bot BC\)), có: \(M{C^2} = M{B^2} + B{C^2}\).

Mà \(MB = \frac{{AB}}{2}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB\)).

Nên \(M{C^2} = {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} + B{C^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + {3^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + 9\).

Thay \(MC = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}\) vào biểu thức \(M{C^2}\), ta được: \({\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + 9\)\( \Leftrightarrow 3S{A^2} = A{B^2} + 36\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S{A^2} + A{B^2} = 36}\\{3S{A^2} - A{B^2} = 36}\end{array}} \right.\)

Cộng hai phương trình, ta được: \((S{A^2} + A{B^2}) + (3S{A^2} - A{B^2}) = 36 + 36\)

\( \Leftrightarrow S{A^2} = 18 \Rightarrow SA = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).

Thay \(S{A^2} = 18\) vào phương trình (1): \(18 + A{B^2} = 36 \Rightarrow A{B^2} = 18 \Rightarrow AB = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA\).

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt 2 ) \cdot 3 = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{9\sqrt 2 }}{2} \cdot 3\sqrt 2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{27 \cdot 2}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9\).