Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên SA = 2a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Đáp án

Phương pháp giải

- Dựng tâm mặt đáy.

- Xác định góc giữa cạnh bên với đáy và góc giữa mặt bên với đáy.

Lời giải

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,H\) là giao điểm của \(AF,CE\).

Khi đó \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)

\(AF \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

Ta có \(AF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AF = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Khi đó \({\rm{cos}}\widehat {SAH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:2a = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AB \bot EC\) và \(AB \bot SH \Rightarrow AB \bot \left( {SEC} \right) \Rightarrow \) góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SEH}\).

\(EH = \frac{1}{3}.EC = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

\(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)

Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {SEH} = \frac{{EH}}{{SE}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}:\frac{{a\sqrt {15} }}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{{15}}\)