Cho khai triển (1/căn 2 + 3)^n

Số các số hạng trong khai triển là n + 1 - ĐÚNG

Với n = 4 thì có 4 số hạng hữu tỉ

Số nguyên lẻ trong khai triển là 3n - ĐÚNG

Tỉ số giữa số hạng thứ tư và thứ ba bằng \(3\sqrt 2 \) thì n = 6

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Lời giải

a) Số các số hạng trong khai triển là n + 1

b) Với n = 4 thì \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + 3} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {.3^k}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{4 - k}}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {.3^k}{.2^{\frac{{k - 4}}{2}}}\)

Số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi \(\frac{{k - 4}}{2} \in \mathbb{Z}\) mà \( - 4 \le k - 4 \le 0\)

\( \Rightarrow k - 4 \in \{ 0; - 2; - 4\}  \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4\} \)

Vậy có 3 số hạng hữu tỉ.

c) Số nguyên duy nhất trong khai triển nhị thức là 3n và đây là một số lẻ.

d) Ta có \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + 3} \right)^n} = {\left( {3 + {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {.3^k}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{n - k}}\)

Bài ra thì \(\frac{{C_n^4{{.3}^4}.{{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^{n - 4}}}}{{C_n^3{{.3}^3}.{{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^{n - 3}}}} = 3\sqrt 2  \Rightarrow \frac{{\frac{{3.n!}}{{(n - 4)!.4!}}}}{{\frac{{n!}}{{(n - 3)!.3!}}}}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{ - 1}} = 3\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{{3(n - 3)}}{4}.\sqrt 2  = 3\sqrt 2  \Rightarrow n = 7\)