Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia

* Xét ∆CAB và ∆EMB, ta có:

CA = EM (gt)

∠(ACB) = ∠(MEB) = 900

CB = EB (tính chất hình vuông)

Suy ra: ∆CAB = ∆EMB (c.g.c)

⇒ AB = MB (1)

Ta có: AK = DK+ DA

CD = CA + AD

Mà CA = DK nên AK = CD

* Xét ∆CAB và ∆KIA, ta có:

CA = KI (vì cùng bằng DK)

∠C = ∠K = 900

CB = AK (vì cùng bằng CD)

Suy ra: ∆CAB = ∆KIA (c.g.c)

⇒ AB = AI (2)

Ta có: DH = DK (vì KDHI là hình vuông)

Và EM = DK (gt)

Suy ra: DH = EM

⇒ DH + HE = HE + EM

Hay DE = HM

* Xét ∆HIM và ∆EMB, ta có: HI = EM (vì cũng bằng DK)

∠H = ∠E = 900

HM = EB (vì cùng bằng DE)

Suy ra: ∆HIM = ∆EMB (c.g.c)

⇒ IM = MB (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM

Tứ giác ABMI là hình thoi.

Mặt khác, ta có ∆ACB = ∆MEB (chứng minh trên)

⇒ ∠(CBA) = ∠(EBM)

Mà ∠(CBA) + ∠(ABE) = ∠(CBE) = 900

Suy ra: ∠(EBM) + ∠(ABE) = 900 hay ∠(ABM) = 900

Vậy tứ giác ABMI là hình vuông.