Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA (Hình 15). a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các

a) Xét ∆ABC có Q, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên QP là đường trung bình của tam giác, do đó QP // AC và \(QP = \frac{1}{2}AC.\)

Tương tự, ta có: MN là đường trung bình của tam giác ACD, do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC.\)

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác, ta cũng chứng minh được MQ là đường trung bình của ∆ABD nên \(MQ = \frac{1}{2}BD.\)

Lại có ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC ⊥ BD.

Suy ra MN = MQ và MN ⊥ MQ.

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình vuông.

b) ⦁ Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến điểm O tương ứng thành chính nó.

⦁ Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.

Theo câu a, ta có \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)

Do đó, tia OD quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OA.

⦁ Tương tự, đối với hình vuông MNPQ ta cũng có ON = OM và \(\widehat {NOM} = 90^\circ \) nên tia ON quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OM.

Vậy phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm O, A, M.

c) Các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị:

α₁° = 90°; α₂° = 180°; α₃° = 270°; α₄° = 360°.