Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD

Xét DADF và DBAE có

AB = AD (chứng minh trên)

\(\widehat {BAE} = \widehat {ADF} = 90^\circ \)

AE = DF (giả thiết)

Suy ra ∆ADF = ∆BAE (c.g.c).

b) Vì ∆ADF = ∆BAE nên \[\widehat {FAD} = \widehat {EBA};\widehat {AFD} = \widehat {BEA}\] (các cặp góc tương ứng)

Gọi G là giao điểm của AF và BE

Xét tam giác AGE có

\(\widehat {AGE} + \left( {\widehat {AEG} + \widehat {GAE}} \right) = 180^\circ \)(tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {AGE} + \left( {\widehat {AFD} + \widehat {FAD}} \right) = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {AGE} + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AGE} = 90^\circ \)

Do đó BE ⊥ AF

Xét tam giác EBF có M là trung điểm của EF, N là trung điểm của BF

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BE

Mà BE ⊥ AF (chứng minh trên)

Suy ra MN ⊥ AF

Vậy MN ⊥ AF.