Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD

Xét DADF và DBAE có

AB = AD (chứng minh trên)

\(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {ADF}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AE = DF (giả thiết)

Suy ra DADF = DBAE (c.g.c).

b) Vì DADF = DBAE nên \[\widehat {F{\rm{AD}}} = \widehat {EBA},\widehat {{\rm{AFD}}} = \widehat {BE{\rm{A}}}\] (các cặp góc tương ứng)

Gọi G là giao điểm của AF và BE

Xét tam giác AGE có

\[\widehat {AGE} + \widehat {AEG} + \widehat {{\rm{GAE}}} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {{\rm{AGE}}} + \left( {\widehat {AF{\rm{D}}} + \widehat {FAD}} \right) = 180^\circ \]

Hay \[\widehat {{\rm{AGE}}} + 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {{\rm{AGE}}} = 90^\circ \]

Do đó BE ⊥ AF

Xét tam giác EBF có M là trung điểm của EF, N là trung điểm của BF

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BE

Mà BE ⊥ AF (chứng minh trên)

Suy ra MN ⊥ AF

Vậy MN ⊥ AF.