Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm

Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

Mà AM = BN = CP = DQ \( \Rightarrow \) AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

Xét ∆AMQ và ∆BNM có: \(\widehat {MAQ} = \widehat {NBM} = 90^\circ \); AM = BN (gt); QA = MB (CMT)

Do đó ∆AMQ = ∆BNM (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ

Khi đó MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNQP có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Do ∆AMQ = ∆BNM (CMT) nên \(\widehat {AMQ} = \widehat {BNM}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BNM} + \widehat {BMN} = 90^\circ \)(do ∆BMN vuông tại B) \( \Rightarrow \widehat {AMQ} + \widehat {BMN} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {AMQ} + \widehat {QMN} + \widehat {BMN} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {QMN} = 180^\circ - \left( {\widehat {AMQ} + \widehat {BMN}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Hình thoi MNPQ có \(\widehat {QMN} = 90^\circ \) nên MNPQ là hình vuông.